画像の幾何学と幾何補正

センサ (sensor) の幾何特性

  • リモートセンシングの主なセンサタイプ
  • 中心投影方式
    • フレームセンサ、ラインセンサ、ポイントセンサ
  • 非中心投影方式
    • レーダー、合成開口レーダー

中心投影方式

フレームセンサ
フレームカメラ、テレビカメラ等
ラインセンサ
リニアアレイ (linear array) センサ，プッシュブルーム (push broom) スキャナ （高解像度衛星センサ）
ポイントセンサ
オプティカルメカニカル (optical mechanical) スキャナ （低解像度気象衛星センサ）

中心投影方式のセンサの座標系(1)

  • リモートセンシングではセンサの位置と観測対象(地表)との対応が時々刻々変化する。
  • (u,v) ... 画像座標系
  • (x,y,z) ... 観測対象物空間の座標系

中心投影方式のセンサの座標系(2)

  • ある時刻tで
  • センサの投影中心 ... (x0,y0,z0)
  • センサの姿勢 ... (ω,φ,κ)
    • 但し、姿勢はz軸の正方向に対して左回りにκ の角だけ回転し、次にy軸の正方向に対して左回りにφの角だけ、最後にx軸の正方向に対して左回りにωの角だけ回転した状態にある。
  • センサの投影中心から画像投影面に下ろした垂線の足の位置を画像座標系で(u0,v0)

中心投影方式センサの図

共線条件式(colinearity equation)

        a11 (x - x0) + a12 (y - y0) + a13 (z - z0)
u = - c ------------------------------------------ + u0
        a31 (x - x0) + a32 (y - y0) + a33 (z - z0)
 
        a21 (x - x0) + a22 (y - y0) + a23 (z - z0)
v = - c ------------------------------------------ + v0
        a31 (x - x0) + a32 (y - y0) + a33 (z - z0)

共線条件式(colinearity equation) (逆)

| x |   | a11 a21 a31 | | (u - u0) |   | x0 |
| y | = | a12 a22 a32 | | (v - v0) | + | y0 |
| z |   | a13 a23 a33 | |    -c    |   | z0 |

回転行列

  • a11, a21, ...
  • 姿勢(ω,φ,κ) による回転行列
  • 文字が小さいが...
    | 1   0     0   | |  cosφ 0  sinφ | | cosκ -sinκ 0 |
| 0  cosω -sinω | |   0   1   0   | | sinκ  cosκ 0 |
| 0  sinω  cosω | | -sinφ 0  cosφ | |  0     0   1 |
  • 一般には、投影中心O(x0,y0,z0)、姿勢(ω,φ,κ) 主点の位置(u0,v0)は時刻tの関数である。

フレームセンサ(中心投影方式センサ)

  • 画像全体にわたって時刻によらず１点の投影中心を持つ。（普通のカメラ）

ラインセンサ

  • 走査線毎に投影中心が異なる。（スリットカメラ）

ポイントセンサ

  • 画素毎に投影中心が異なる。

ポイントセンサの例

幾何ひずみ

  • レンズによるひずみ

レンズひずみ

d = r - c tanθ
d = a1r + a3r3 + a5r5 + ...
->

幾何補正

 

幾何補正の手順

  1. 補正式(座標変換式)の決定
    1. 理論的補正式による幾何補正(系統的補正)

      センサの機構に関する内部歪みやセンサの位置や姿勢に関する 外部歪みを理論的補正式を用いて補正する。 人工衛星画像の場合、LANDSAT MSS で約1km(10画素)の誤差。

    2. 基準点を用いて決定する補正式による幾何補正(非系統的補正)

簡単な幾何補正

  • 拡大・縮小
    • PIL: im.resize(size)
    • Netpbm: pnmscale, pnmreduce, pnmenlarge
  • 回転
    • PIL: im.rotate(angle)
    • Netpbm: pnmrotate

簡単な幾何補正(2)

  • 反転
    • PIL: im.transpose(method)
    • Netpbm: pnmflip
  • 平行移動
    • PIL: im.crop(), im.offset()
    • Netpbm: pnmcrop, pnmmargin
  • スキュー(シアー)
    • pbmplus のコマンド:pnmshear

一般的な幾何補正

  • アフィン変換
    u = ax + by + c
v = dx + ey + f
  • 疑似アフィン変換(共一次変換)
    u = a1xy + a2x + a3y + a4
v = b1xy + b2x + b3y + b4

その他の幾何補正（名前だけ）

  • ヘルマート変換(一次等角変換)
  • 二次等角変換
  • 射影変換
  • 次元射影変換

係数の決定

  • 係数の数以上の基準点の座標を用いて
  • 最小2乗法によって求める。
  • 偏差の2乗の和が最小になるように、係数を決定する
  • Wikipedia や、こんなページ を参考に。

あるいは

  • 理論的補正式と基準点を用いて決定する補正式とを組合せた補正式による幾何補正 (併用補正)
  • 理論補正により大きな幾何歪みを除去した後で基準点を用いた非系統補正をおこなう。
  • 内部歪みや外部歪みに関するパラメータを基準点から決定する。

再配列

  • 幾何補正後の出力画像の配列に対応するように、入力画像のデータを並べなおす。
    • 入力画像の各画素について変換後の位置を計算する
    • 出力画像の各画素について入力画像の座標系での位置を計算する（逆変換）
  • 出力画像にすきまなく画像データを並べるために普通は後者の方法が用いられる。

再配列（逆変換）

内挿法

  • 内挿の必要性
  • データがほしい点と観測点にずれがある

最近隣内挿法

P = Pi,j
i = [ u + 0.5 ]
j = [ v + 0.5 ]

共一次内挿法

P =   {(i + 1) - u}{(j + 1) - v} Pi,j
    + {(i + 1) - u}{v - j} Pi,j+1
    + {u -i}{(j + 1) - v} Pi+1,j
    + {u -i}{v - j} Pi+1,j+1
i = [u]
j = [v]

3次畳み込み内挿法

  • 詳細省略

本日の問題

  • 人工衛星から地球の写真を撮るときに使われるセンサ（カメラ）には、次の３種類がある。
  1. ＿＿＿＿センサ
  2. ラインセンサ
  3. ＿＿＿＿センサ

解答

  1. フレーム
  2. ポイント