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コンピューターと数学(1)

長沼英久

フェルマーの予想について

最近の数学の話題といえば、ワイルス氏による「フェルマーの予想が解決した？」ということに尽きると思いますが、これについては現時点では、残念乍ら完全な解決には到っていない、というのが真相です。しかし、解決への歴史の歯車を一歩進めたことについては専門家の意見の一致するところです。さて、フェルマーの予想とは

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n　　n　　n
「３以上の自然数 n について、方程式 x + y = z は自然数解を持たない」

という一見簡単そうに見える命題なのですが、 350年にわたって解決を見ていません。容易に分かるように、 n=4 と全ての奇素数 n について証明されれば良いわけですが、 n=4　のときはフェルマー自身、 n=3 のときはオイラーによって証明され、コンピュータの発達した今日では、 n ≦ 4,000,000 に対して確かめられています。今、確かめたと言いましたが、 n をひとつ固定したとしても、 x, y, z の取り得る値は無限にありますから、有限な計算しかできないコンピューターに乗せるためには相当な工夫が必要になります。そのひとつとして、フェルマーの予想が本質的に難しい問題であることを世に示し、且つ、飛躍的な貢献を成したクンマーは次の結果を与えました。結果を述べるために、記号をひとつ導入します２つの自然数 n,k に対して

　　　　　k　　k　　k　　　　　　　　  k
S(n)=1 + 2 + 3 +・・・+ (n-1)
 k

【事実1】

　　　   　　　　　            　　　          　　　  2
奇素数 n について、S (n),S (n),・・・, S   (n) が全て n  で割り切れないとき、
　　　   　　　　　 2     4    　　　   n-3

 n   n   n
x + y = z  は自然数解を持たない。

( 注意：S (n),S (n),・・・, S   (n) が全て n で割り切れることは
  　　　 2     4    　　　   n-3
比較的容易に証明できます。 )

この事実 1 を用いて、実際に調べてみると、 24個ある100以下の奇素数の中で、 37 と 59 と 67 の3個がこの条件を満たさないことが分かります。しかし、一般には、この条件を満たさない素数 ( 非正則な素数 ) は無数にあることが知られていますが、この条件を満たす素数 ( 正則な素数 ) が無数にあるかどうかは知られていません。

【事実2】

　　　　　　   　　　　　　　　 　　　　　　　　　 n    n    n
非正則な素数 n に対しても、次の3条件を満たすとき、x  + y  = z  は自然数解を持たない。

                　　　         　　　　　2
(1) S (n),S (n),・・・, S   (n) の中で n  で割り切れる個数が  より小さい、
     2     4    　　　   n-3 

                  　　　             　　　  4
(2) S  (n),S  (n),・・・, S      (n) が全て n  で割り切れない、
     2n     4n    　　　   (n-3)n

(3) Vandiver の予想が成り立つ。

現在では、この事実2 を用いて大きな n までのチェックが出来る訳です。しかし、事実 1 も事実 2 もその証明には、代数的整数論の成果に親しまなければなりません。

最後に、上で用いた Sk(n) の変わりに、ベルヌイ数と呼ばれる数を使うことの方が自然であることを付け加えておきます。

参考文献